수업지도안

-  -

이름 : 유승빈

I. 개요

□ 수업 제목 : 타원의 광학적 성질의 이해와 적용

□ 학습 대상 : 고등학교 3학년 이과생 20명 (수준 : 중상)

□ 수업 시간 : 50분

□ 학습 목표 : 1. 타원의 광학적 성질을 설명할 수 있다.

2. 타원의 광학적 성질을 실생활에 적용할 수 있다.

II. 개발 배경

본 교안은 기하와 벡터 교과의 ‘타원과 직선의 위치관계’단원까지 학습을 마친 중상 수준의 고등학교 3학년 이과생을 대상으로, 타원의 광학적 성질에 대한 이해를 돕고 타원의 광학적 성질을 실생활에 적용할 수 있도록 하기 위해 만들어졌다. 이차곡선의 하나인 타원은 다른 이차곡선인 포물선, 쌍곡선과 함께 실생활에서 자주 볼 수 있는 형태의 곡선이다. 본 교안은 단순히 타원의 형태가 사용된 실생활 사례를 찾아보는 수준을 넘어 타원의 특수한 성질을 이용한 실생활 사례를 알아봄으로써 타원이 우리의 삶에 어떤 도움을 줄 수 있는지 확인하는 것을 목표로 한다.

본 교안에서 중점적으로 다루는 것은 타원의 여러 성질 중 ‘타원의 광학적 성질’이라고 부르는 것이다. 다른 이차곡선에도 광학적인 성질이 있지만, 타원의 경우에 흥미로운 사례들을 찾기가 더 쉽고, 내용 자체도 어려운 편이 아니어서 타원의 광학적 성질을 교안의 주제로 선택하게 되었다. 본 교안에 제시된 실생활 사례보다 학생들의 흥미를 끌 수 있고 유익한 사례가 있다면, 얼마든지 교안을 수정하여 사용하여도 좋다. 또한 이와 같은 형식으로 포물선이나 쌍곡선의 광학적 성질을 주제로 한 교안을 작성하는 것도 의미가 있으리라 생각한다.

본 교안의 특징은 다음과 같다.

1. 본 교안은 Gagne의 수업의 사태(Events of Instruction)을 기반으로 하고 있다. 전체적으로는 Gagne의 모형을 따르고 있고, 마지막 두 항목인 ‘수행을 평가하기’와 ‘파지와 전이를 향상시키기’의 순서만 바뀌어있다. 본 수업에서는 수행의 평가를 수업 시간 내에 하지 않을 것이기에 마지막에 간단하게 수행 평가에 대한 안내를 하는 방식으로 조정하였다.

2. 본 교안에서는 동적인 시청각 매체를 주로 활용하였다. 주로 지오지브라와 유튜브 동영상을 이용하여 타원의 광학적 성질이 어떠한 타원에 대해서도 성립한다는 것과, 그 성질이 적용되는 과정에서 나타나는 변화의 양상을 살펴볼 수 있게 하였다. 이를 통해 학생들의 예 공간(example space)을 확장시키고, 타원의 성질을 직관적으로 이해할 수 있는 능력을 기를 수 있을 것으로 예상된다. 만약  스마트 기기를 사용할 수 있는 환경이 조성되어있고, 학생들이 고등학교 3학년이라는 것 때문에 생기는 수업에 대한 부담이 적다면 두 차시를 이어 100분짜리 수업을 하는 것도 좋다. 이 때, 조별로 아이패드와 같은 스마트 기기를 나누어줌으로써 학생들 스스로 지오지브라를 통해 타원을 조작할 수 있게 하고, 더 나아가 다른 이차곡선의 광학적 성질과 비교를 하는 활동을 추가하는 것도 바람직하다. 본 교안은 스마트 기기를 활용할 수 있는 환경이 제대로 갖추어져있지 않은 교실에서도 사용할 수 있도록 기본적인 형태로 구성되어 있음을 밝힌다.

또한 학교 수업 현장에서 본 교안의 주제로 두 차시 이상 수업하는 것은 현실적이지 않으므로 본 교안은 한 차시 수업에 맞추어서 구성되어있다.

3. 본 교안은 기본적으로는 강의식 수업이나, 조별 학습활동이 큰 비중을 차지한다. 따라서 학생들이 적극적으로 수업에 참여할 수 있도록 교사의 충분한 피드백이 필요하다. 또한 조별 학습활동이 잘 이루어질 수 있도록 교사가 순회 지도를 하며 부분적으로 개별화 교수를 실현할 수 있도록 한다.

미적분과 마찬가지로 기하와 벡터 단원은 실생활의 사례에 적용할 수 있는 요소가 많이 있다. 하지만 고등학교 3학년 때 배우는 (실제로는 2학년 2학기에 배우는) 과목이라는 이유로 수능을 대비한 강의식 문제 풀이 수업위주로 기하와 벡터를 학습하게 된다. 이러한 경우 기하와 벡터 단원에서 활용이라는 중요한 측면을 간과하게 된다. 매번 본 교안과 같은 형식의 수업을 하는 것은 수능을 앞둔 학생들에게 오히려 부담이 될 수도 있겠지만, 적당하게 제공된다면 학습에 대한 흥미도 유발할 수 있고, 기하와 벡터 교과에 대한 심도 있는 이해도 가능하게 될 것이다. 이를 위해 일반적인 강의식 수업보다 학생의 참여를 강조한 수업을 구상하게 되었고, 타원의 광학적 성질에 대한 엄밀한 증명보다는 동적인 시청각매체를 통한 직관적인 이해를 하게 함으로써 수업에 대한 부담을 줄이고 타원의 광학적 성질을 실생활에 적용한다는 학습목표에 집중할 수 있게 하였다.

III. 수업 청사진

수 업 과 정	수 업 내 용
주의력 획득 (중요!!)	(인사 및 출석점검) (도입) 혹시 포켓볼을 쳐 본 학생들이 있는지 질문 포켓볼을 잘 하지 못하는 학생들을 위한 당구대가 있습니다. Elliptical Pool Table 유튜브 영상 시청 (10초) https://www.youtube.com/watch?v=4KHCuXN2F3I 어느 방향에서 치든, 구멍 안으로 쏙 들어간다. 어떤 원리에 의해서 이렇게 되는걸까? 이 당구대의 특징이 무엇일까? -> 직사각형이 아니다. 둥그렇다. 좀 더 정확히는 타원형인 것 같다. 구멍이 당구대 중간에 뚫려있다. 공과 구멍이 대칭되는 위치에 있는 것 같다 등등 다양한 답변 예상 가장 중요한 특징은 당구대의 모양이 타원형이라는 것, 공과 구멍의 위치가 특정한 두 점 (초점)이라는 것. 타원이 어떤 성질을 가지기에 이러한 결과가 나오는 것인지 배울 것이라는 것을 제시한다. 주의점) 단순히 동영상을 틀어주는 것만으로는 주의 획득하기 힘들다. 사전 지식을 활성화activate 할 수 있는 질문, 활동을 해야 한다. 사전지식을 뒤흔들거나 misconception을 건드린다. 질문을 하면서 시작하자. 실제적 상황을 학습 목표와 자연스럽게 연결할 수 있도록 한다.
학습목표 제시	1. 타원의 광학적 성질을 설명할 수 있다 2. 타원의 광학적 성질을 실생활에 적용할 수 있다.
사전지식 회상 자극	1. 타원의 의미를 설명할 수 있다 2. 타원의 방정식을 구할 수 있다 타원의 광학적 성질에 대해 배우려면 지난 시간에 배웠던 ‘타원의 의미(정의)’와 ‘타원의 방정식’에 대해서 알아야 한다. 지오지브라를 활용하여 빠르고 간단하게 짚고 넘어간다. 지오지브라 타원 그리기 http://tube.geogebra.org/student/m47683
자극 자료 제시 (설명)	타원의 광학적 성질 설명 타원의 한 초점에서 쏜 빛은 타원을 이루는 한 점에서 반사되어 타원의 다른 초점을 지난다. 지오지브라 타원의 광학적 성질 http://ggbin.com/reflective-property-of-an-ellipse/ 칠판에 판서 or PPT를 이용하여 증명한다
학습안내 제시 (사례)	1. 도입부에 제시했던 타원형 당구대를 통해 앞서 설명한 타원의 성질이 적용되었음을 보여준다. 2. 포물선의 광학적 성질을 예로 들어 학생들의 misconception을 유도할 수 있도록 한다. (타원면과 포물면은 유사한 형태이지만 성질은 전혀 다르다.)
수행 유발 (연습 기회 제공)	조별 학습활동 (타원의 실생활 사례) 타원의 광학적 성질을 실생활 사례에 적용해본다. 학생을 다섯 조로 나누어 조별학습을 하게 한다. 지난 시간에 배운 타원의 정의와 이번 시간에 배운 타원의 광학적 성질을 이용하여 과제를 해결할 수 있게 한다. 과제를 해결한 후, 조 별로 활동 결과를 발표한다. 학생들이 과제를 할 때 순회지도를 한다. 1. 건축 세인트 폴 (성 바오로) 성당의 ‘속삭이는 회랑’ 세인트 폴 성당의 속삭이는 회랑에 대한 설명과 속삭이는 회랑의 설계도 (혹은 사진이나 그림)를 제시한다. 왜 속삭이는 회랑에서 이러한 현상이 관찰되는지 타원의 광학적 성질을 통해 확인해본다. 2. 의학 신장결석 제거하는 기계 신장결석을 제거하는 기계가 어떤 원리로 작동하는지를 파악한다.
피드백 제공	학생들이 해결한 과제에 대한 설명 타원의 광학적 성질이 어떻게 적용되었는지 설명
수행 평가	타원의 광학적 성질을 적용하는 문제를 제시
파지와 전이의 향상	타원의 광학적 성질을 설명할 수 있는지, 실생활에서 어떻게 활용할 수 있는지 발표를 통해 확인한다.

IV. 수업 교안

수업단계	수업과정	교수학습활동		시 간	비고(준비물, 유의점)
		교사	학생
도입	주의력 획득	■ 수업 전, 필요한 기자재를 미리 점검하고 PPT의 첫 화면을 TV혹은 스크린에 표시한다. ■ 조별 활동을 위해 4명 씩 다섯 조로 나눈다. *학생 수에 따라 유동적으로 조정하되, 한 조에 학생 수가 6명을 넘어가지 않도록 한다. *학생의 출석번호를 5로 나누었을 때 나머지가 같은 학생끼리 조를 이루게 한다. 나머지가 1인 학생들은 1조, 나머지가 2인 학생들은 2조, …, 나머지가 0인 학생들은 5조로 구성한다. (모듈러 5를 기준으로 한다.) ■ 인사 및 출석점검 ■ 질문을 하며 수업 시작 ▷ 당구를 쳐 본 적이 있는가? ▷ 당구를 못 치는 사람도 쉽게 구멍에 공을 넣을 수 있는 당구대가 있다. ■ Elliptical Pool Table 유튜브 영상 시청 (10초) https://www.youtube.com/watch?v=4KHCuXN2F3I ■ 영상에 관해 질문을 던진다. ▷ 어느 방향에서 치든, 구멍 안으로 쏙 들어간다. 일반적인 당구대와 어떤 차이점이 있기에 이런 현상이 일어나는 것일까? ▷ 가장 중요한 특징은 당구대의 모양이 타원형이라는 것, 공과 구멍의 위치가 특정한 두 점 (초점)이라는 것 ▷ 타원이 어떤 성질을 가지기에 이러한 결과가 나오는 것인지에 대해 배울 것이라는 것을 언급한다.	■ 주어진 조건에 맞게 조를 나눠서 앉는다. ■ 질문에 대답한다. ▷ 있다고 대답할 경우 얼마나 잘 치는지 묻고, 없다고 대답할 경우 영화나 드라마에서 당구 치는 것을 본 적 있는지 묻는 식으로 자연스럽게 대화를 이어간다. ■ 동영상을 시청한다. ■ 질문에 대답한다. ▷ 직사각형이 아니다. 둥그렇다. 좀 더 정확히는 타원형인 것 같다. 구멍이 당구대 중간에 뚫려있다. 공과 구멍이 대칭되는 위치에 있는 것 같다 등 다양한 답변 예상 ▷ 정확한 답을 얘기하는 학생이 있다면, 설명을 해보게 한 후, 보충 설명 한다.	5분	PPT
	학습목표 제시	■ 학습목표를 화면에 표시하고, 읽어준다. ▷ 1. 타원의 광학적 성질을 설명할 수 있다 ▷ 2. 타원의 광학적 성질을 실생활에 적용할 수 있다.	■ 학습목표를 확인한다.	1분
	사전지식 회상 자극	■ 타원의 의미와 타원의 방정식에 대해 학습한 내용에 대해 간단히 질문한다. ▷ 1. 타원의 의미를 설명할 수 있다. ▷ 2. 타원의 방정식을 구할 수 있다. *전체 학생에 대해 질문을 한다. 참여가 저조할 경우 한 명을 지정하여 질문한다. 시간이 부족할 경우 설명으로 대체한다. ■ 지오지브라로 타원을 제시 http://tube.geogebra.org/student/m47683 ▷ 타원의 방정식에 대해 확인한다.	■ 질문에 대답한다. ▷ 타원의 정의에 대해 말한다. ▷ 타원의 방정식의 일반적인 형태에 대해 말한다.	4분	PPT
전개	자극자료 제시하기	■ 타원의 광학적 성질 설명 ▷ 타원의 한 초점에서 쏜 빛은 타원을 이루는 한 점에서 반사되어 타원의 다른 초점을 지난다. ▷ 지오지브라 타원의 광학적 성질 http://ggbin.com/reflective-property-of-an-ellipse/ *아이패드 등 스마트 기기를 사용할 수 있는 환경이라면, 조별로 한 개씩 분배하여 직접 타원을 조작할 수 있게 할 수도 있다. ■ 타원의 광학적 성질 증명 ▷ 칠판에 타원의 광학적 성질을 증명한다. * 필수적이진 않은 과정이므로 시간이 부족할 경우 생략한다. 또한 학생의 수준이 높지 않을 경우 생략하는 편이 좋다.		7분	PPT, (아이패드)
	학습안내 제시하기	■ 타원의 광학적 성질에 관한 시각자료를 제시한다. ▷ 타원에서 파동의 반사에 관한 유튜브 동영상 재생 (13초) https://www.youtube.com/watch?v=3leJFxzxPIc ■ 포물선의 광학적 성질을 예로 드는 시각자료를 제시한다. ▷ 지오지브라 포물선의 광학적 성질 http://ggbin.com/reflective-property-of-a-parabola/ ■ 타원의 광학적 성질과 비교하고, 질문한다. *어떤 대답이 나오든 타원과 포물선의 성질에 해당하는 지오지브라 자료를 동시에 보여주어 차이점을 인지하게 한다. 단. 포물선의 광학적 성질을 타원의 광학적 성질과 혼동하는 경우나 제대로 모르는 경우에는 좀 더 자세히 설명한다. *이 경우에도 아이패드 등 스마트 기기를 사용할 수 있는 환경이라면, 조별로 한 개씩 분배하여 직접 포물선과 타원을 조작할 수 있게 할 수도 있다.	■ 질문에 대답한다. ▷ 주어진 성질은 타원의 광학적 성질이다, 이전 시간에 배웠던 포물선의 광학적 성질이다, 모르겠다 등 다양한 답변 예상.	5분	PPT, (아이패드)
	수행을 유발하기 1	■ 활동지를 배부하고 활동방법에 대해 설명한다. ▷ 조별로 활동지1 4장과 조별활동지1 한 장을 나눠준다. 활동지 1에 적힌 활동 방법에 대해 설명해준다. ▷ 활동지1의 오른쪽 빈칸은 메모를 하거나 계산을 하는 등 자유롭게 사용할 수 있음을 알려준다. ▷ 교사의 도움을 요청할 수 있음을 알려준다. ■ 활동지1의 글을 읽고 문제 1)~3)을 해결하게 한다. ▷ 제한 시간을 7분으로 하여 타이머를 맞춰놓는다. 이를 화면에 표시하여 학생들이 볼 수 있도록 한다. *학생들이 문제를 해결하는 동안, 각 조를 돌아다니며 순회 지도를 실시한다. 학생들의 수준에 맞추어 적절한 도움을 주되, 직접적으로 답을 제시하거나 풀이 방법을 알려주는 것은 지양한다. 학생들이 스스로 해낼 수 있도록 도움을 준다.	■ 활동지를 배부 받고 설명을 듣는다. ■ 활동지1의 글을 읽고 문제 1)~3)을 해결한다.	7분	PPT. 순회지도 실시, 활동지1 배부
	피드백을 제공하기 1	■ 조별로 완성한 조별활동지1을 핸드폰 카메라로 촬영한 후, 클라우드를 통해 컴퓨터로 옮기고, 바로 화면에 표시한다. ▷ 다섯 개 조의 조별활동지 중 가장 완성도 높은 조별활동지를 고른다. ▷ 해당 조에서 활동 결과를 발표하게 한다. ■ 활동 결과를 발표하게 한다. ▷ 3분 이내로 발표하게 한다. ▷ 다른 조에서 질문을 할 수 있게 한다. ▷ 해당하는 조와 다른 의견을 가졌던 조나, 다른 결과가 나왔던 조가 있었다면 그 부분에 대해서 질문할 수 있도록 한다. ■ 피드백을 제공한다. ▷ 학생의 설명이 부족했던 부분이나, 추가로 설명이 필요한 부분에 대해 피드백을 제공한다.	■ 활동 결과를 발표한다. ▷ 활동 결과를 3분 이내로 발표한다. ▷ 다른 조의 질문에 답한다. ▷ 적극적으로 질문한다.	5분	핸드폰
	수행을 유발하기 2	■ 활동지를 배부하고 활동방법에 대해 설명한다. ▷ 조별로 활동지2 4장과 조별활동지2 한 장을 나눠준다. 활동지 2에 적힌 활동 방법에 대해 설명해준다. ▷ 활동지2의 오른쪽 빈칸은 메모를 하거나 계산을 하는 등 자유롭게 사용할 수 있음을 알려준다. ▷ 교사의 도움을 요청할 수 있음을 알려준다. ■ 활동지2의 글을 읽고 문제 1)~3)을 해결하게 한다. ▷ 제한 시간을 7분으로 하여 타이머를 맞춰놓는다. 이를 화면에 표시하여 학생들이 볼 수 있도록 한다. *‘수행을 유발하기1’과 마찬가지 방법으로, 학생들이 문제를 해결하는 동안, 각 조를 돌아다니며 순회 지도를 실시한다.	■ 활동지를 배부 받고 설명을 듣는다. ■ 활동지2의 글을 읽고 문제 1)~3)을 해결한다.	7분	PPT. 순회지도 실시, 활동지2 배부
	피드백을 제공하기 2	■ 조별로 완성한 조별활동지2를 핸드폰 카메라로 촬영한 후, 클라우드를 통해 컴퓨터로 옮기고, 바로 화면에 표시한다. ▷ 다섯 개 조의 조별활동지 중 가장 완성도 높은 조별활동지를 고른다. *앞서 발표한 조와 중복될 경우, 그 다음으로 완성도 높은 조별활동지를 선택한다. ▷ 해당 조에서 활동 결과를 발표하게 한다. ■ 활동 결과를 발표하게 한다. ▷ 3분 이내로 발표하게 한다. ▷ 다른 조에서 질문을 할 수 있게 한다. ▷ 해당하는 조와 다른 의견을 가졌던 조나, 다른 결과가 나왔던 조가 있었다면 그 부분에 대해서 질문할 수 있도록 한다. ■ 피드백을 제공한다. ▷ 학생의 설명이 부족했던 부분이나, 추가로 설명이 필요한 부분에 대해 피드백을 제공한다.	■ 활동 결과를 발표한다. ▷ 활동 결과를 3분 이내로 발표한다. ▷ 다른 조의 질문에 답한다. ▷ 적극적으로 질문한다.	5분	핸드폰
정리	파지와 전이를 향상시키기	■ 수업을 마무리하며 타원의 광학적 성질과 실생활 사례에 대해 간단히 발표하게 한다. ▷ 활동지 1,2를 발표하지 않은 세 조 중 한 조를 지목하여 타원의 광학적 성질에 대해 발표하게 한다. ▷ 남은 두 조 중 한 조를 지목하여 실생활 사례에 대해 발표하게 한다. ▷ 마지막 남은 조를 지목하여 다른 실생활 사례에 대해 발표하게 한다. ■ 다음 차시에는 이차곡선 중 하나인 쌍곡선을 배울 것임을 안내한다.	■ 타원의 광학적 성질과 실생활 사례에 대해 발표한다. ▷ 타원의 광학적 성질에 대해 발표한다. ▷ 타원의 실생활 사례에 대해 발표한다. ▷ 타원의 다른 실생활 사례에 대해 발표한다. ■ 다음 차시의 학습 내용을 확인한다.	3분
	수행을 평가하기	■ 활동지 3을 배부하고, 다음 수업 시간까지 제출하게 한다. ▷ 수행평가 점수에 반영됨을 알려준다. ▷ 수행평가 방식에 대해 질문이 있을 경우 답해준다.		1분	활동지3 배부

<참고자료(문헌)>

[붙임#1] 학습자료

학습자료 첨부 : 활동지 1,2, 조별활동지 1,2, 수행평가지

참고자료

- 최용준 외 9명 (2010). 고등학교 기하와 벡터. 천재교육

- 박성익, 임철일, 이재경, & 최정임 (2015). 교육방법의 교육공학적 이해 (5판). 교육과학사.

수학과 교생지도수업 지도안 http://sess.snu.ac.kr/#/plan/55ff74c471c7f13e32f51503

자료 출처

Elliptical Pool Table (유튜브) https://www.youtube.com/watch?v=4KHCuXN2F3I

타원 그리기 (지오지브라) http://tube.geogebra.org/student/m47683

타원의 광학적 성질 (지오지브라) http://ggbin.com/reflective-property-of-an-ellipse/

타원에서의 파동의 반사 (유튜브) https://www.youtube.com/watch?v=3leJFxzxPIc

포물선의 광학적 성질 (지오지브라) http://ggbin.com/reflective-property-of-a-parabola/

활동지1 속삭이는 회랑 그림

http://www.slate.com/articles/arts/culturebox/2014/06/the_acoustics_of_eavesdropping_how_curved_ceilings_and_walls_redirect_and.html

활동지2 신장 결석 파쇄기(lithotripter)

http://mazesmath.com/Precalc%20Powerpoint/08%20Conics%20&%20Polar/70%20Off-center%20Ellipse_files/frame.htm

수행평가지 1번 문항 : 고등학교 기하와 벡터 65p (최용준 외 9명. 천재교육. 2010)

[붙임#2] 수행평가 체크리스트

구 분	기 준	점수(5점 척도)
1번	타원의 그래프만 그린 경우	1점
	타원의 그래프를 그리고, 문제 상황을 좌표 평면 상에 표시한 경우	3점
	[eqn: alpha = beta]임을 증명한 경우	5점
2번	타원의 광학적 성질을 그래프 없이 글로만 설명한 경우	3점
	타원의 광학적 성질을 그래프를 이용하여 설명한 경우	5점
3번	타원의 광학적 성질을 설명하였으나 타원형 탁구대와 연관 지어 설명하지 못한 경우	3점
	타원의 광학적 성질을 타원형 탁구대에 적용하여 설명한 경우	5점